Rumus Matematika Bilangan Berpangkat Tak Sebenarnya

Pangkat Tak Sebenarnya

Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana dengan cara mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta memecahkan masalah sederhana yang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar.

Sebekumnya kamu telah mempelajari sifat-sifat perkalian dan pembagian bilangan bulat berpangkat bilangan bulat positif. Pada bab ini sifat-sifat tersebut akan dikembangkan sampai bilangan rasional berpangkat bilangan bulat dan bentuk akar.  Konsep-konsep bilangan berpangkat dan bentuk akar banyak digunakan dalam bidang ilmu dan teknologi, seperti pada contoh berikut.

Jari-jari penampang melintang sebuah batang tumbuhan dikotil pada musim dingin adalah⁵/₂√x cm. Adapun pada 2 musim panas, ukurannya menyusut x cm. Setelah mempelajari bab ini, kamu dapat menghitung penurunan luas penampang tumbuhan dikotil tersebut pada musim panas.

Tes Apesrsepsi Awal.

Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihanmu.

1. Tentukan nilai dari bilangan berpangkat berikut :

a. 7²      b. 13³       c. (–11)²      d. (–15)³

2. Tentukan nilai dari akar bilangan berikut

a. √81      b.  √625    

3. Selesaikan soal-soal berikut.

a. 5³ – 2² + (–3)²

b. 8² – 1³ – (–2)³

c. 3² × 3 × 3³

d. (–2)³ × (–2)² × (–2)⁴

 4. Tentukan nilai dari bilangan berpangkat berikut.

a. (2³)²     .b. (3²)³  

5. Selesaikan soal-soal berikut.

a. (3⁴)² – (1⁵)²

b. (2³)² + (2³)⁴

 

A. Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat

1. Bilangan Rasional

Sebelumnya kamu telah mempelajari konsep bilangan rasional. Agar tidak lupa, konsep tersebut akan dipelajari kembali pada bab ini. Untuk itu, pahami kembali definisi bilangan rasional berikut.

Definisi 1

Bilangan rasional ialah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b, dengan adan badalah bilangan bulat serta b≠ 0.

Bilangan ¹/₂, ¹/₃, ²/₃, – ²/₅, – ³/₇, dan – ⁵/₉ merupakan bilangan rasional karena memenuhi bentuk seperti pada Definisi 1

2. Pengertian Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat Positif

Dalam kehidupan sehari-hari, kadang-kadang kamu harus mengalikan bilangan-bilangan berikut:

3 × 3

5 × 5 × 5

(–2) × (–2) × (–2) × (–2)

(1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5)

Perkalian berulang tersebut akan lebih sederhana jika ditulis dalam bentuk bilangan berpangkat, seperti berikut.

3 × 3 ditulis 3² dan dibaca "tiga pangkat dua".

5 × 5 × 5 ditulis 5³ dan dibaca "lima pangkat tiga".

(–2) × (–2) × (–2) × (–2) ditulis (–2)⁴ dan dibaca "negatif dua pangkat empat".

Coba kamu tentukan bentuk bilangan berpangkat dari perkalian berulang (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5).

Penulisan perkalian berulang dalam bentuk bilangan berpangkat tersebut memperjelas definisi berikut.

Definisi 2
Jika a bilangan rasional dan n bilangan bulat positif maka perkalian berulang n faktor dari a ialah

a₁ x a₂ x a₃ x a₄ x a₅ x ...x a_n = aⁿ

Pada Definisi 2, aⁿ disebut bilangan berpangkat dengan a sebagai bilangan pokok dan nsebagai pangkat (eksponen).

 

Dengan menggunakan Calculator Scientific tipe ^{FX-570W kamu dapat} 1. Nyatakan bilangan berpangkat berikut dalam perkalian

Contoh 1  

1. Nyatakan bilangan berpangkat berikut dalam perkalian berulang, kemudian hitunglah

    a. 7³       b. (–3)⁴        c. –(3⁴)       d. (²/₃)³    

Penyelesaian:

 

a. 7³ = 7 × 7 × 7

        = 49 × 7

        = 343

b. (–3)⁴ = (–3) × (–3) × (–3) × (–3)

             = 9 × 9

             = 81

c. –(3⁴) = –(3 × 3 × 3 × 3)

             = –(9 × 9)

             = –81

d. (²/₃)³  =  ²/₃ x ²/₃ x ²/₃

              = ⁸/₂₇    

2. Sebuah bak mandi berbentuk kubus dan mempunyai panjang rusuk 9,2 dm. Berapa mililiter volume bak mandi tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui: Panjang rusuk bak mandi (p) = 9,2 dm

Ditanyakan: Volume bak mandi (V) dalam satuan mL.

V = p³

   = (9,2)³

   = 9,2 × 9,2 × 9,2

   = 84,64 × 9,2

   = 778,688

Volume bak mandi itu adalah 778,688 dm³ atau 778,688 liter.

Diketahui 1 liter = 1000 ml sehingga 778,688 liter = 778,688 × 1000 mL = 778.688 mL.

Jadi, volume bak mandi tersebut adalah 778.688 mL

3. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat Positif

a. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

Pelajari operasi hitung berikut.

3³× 3² = (3 x 3 x 3)(3 x 3)

           = (3 x 3 x 3 x 3 x 3)

           = 3³⁺²

Jadi 3³× 3² = 3³⁺²

 Sifat 1
Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka

a^m × aⁿ = a^m+n

Contoh 2

1. a. 5² × 5³ = 5²⁺³

                    = 5⁵

    b. (–2)⁴ × (–2)⁵ = (–2)⁴⁺⁵

                             = (–2)⁹

    c. 2³ × 3⁴ tidak dapat disederhanakan karena bilangan pokoknya tidak sama.

   d. 3y² × y³ = 3y²⁺³ = 3y⁵, dengan y = bilangan rasional.

 

2. Ketinggian suatu benda dapat ditentukan dengan menggunakan rumus gerak jatuh bebas, yaitu h = ¹/₂ gt².

Dalam hal ini h = ketinggian benda, g = percepatan gravitasi bumi, dan t = waktu benda sampai jatuh ke tanah.

Sebuah benda dijatuhkan dari puncak sebuah gedung. Hasil pengukuran menunjukkan bahwa waktu benda sampai jatuh ke tanah adalah 4,9 detik.

Jika percepatan gravitasi bumi di tempat itu 9,8 m/det², berapa meterkah tinggi gedung tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui: t = 4,9 detik dan g = 9,8 m/det²

Ditanyakan: h = ?

h = ¹/₂ gt²

   = ¹/₂ × 9,8 × (4,9)²

   = 4,9 × (4,9)²

   = (4,9)¹⁺² = (4,9)³ = 117,649

Jadi, tinggi gedung tersebut adalah 117,649 meter.

b. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat

Pelajari operasi hitung berikut.

35	=	3 x 3 x 3 x 3 x 3	=	35-2
32		3 x 3

Jadi	35	=	3 x 3 x 3 x 3 x 3	=	35-2
	32		3 x 3

Sifat 2
Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan m, n bilangan bulat positif maka :

am	= am-n	dengan m > n
bn

Contoh 3

1	a.	37	= 37-4	= 33 = 27
		34
	b.	(-5)6	= (-5)6-4	= (-5)2 = 25
		(-5)4
	c.	2p5	= 2p5-3	= 2p2
		p3

2. Percepatan sentripetal dari sebuah benda yang bergerak melingkar dirumuskan

as =	v2
	r

Dalam hal ini a_s = percepatan sentripetal bersatuan m/det², v = kecepatan benda bersatuan m/det, dan r = jarak benda ke pusat lingkaran bersatuan meter.

Sebuah mobil bergerak di suatu tikungan yang berbentuk seperempat lingkaran dengan jari-jari 16 m. Mobil melaju dengan kecepatan tetap 57,6 km/jam.

Berapa m/det² percepatan sentripetal mobil tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui:

r = 16 m

v =	57,6 km	=	57.600m	= 16 m/det
	jam		3.600 det

Ditanyakan a_s ?

as =	v2	=	162	= 162-1	= 16
	r		16

Jadi, percepatan sentripetalnya adalah 16 m/det².

c. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Pelajari operasi hitung berikut ini. (2³)²

(2³)² =  (2 x 2 x 2 )²

         =   (2 x 2 x 2 )(2 x 2 x 2 )

         =  2⁶

Jadi (2³)² =  2^{3 x 2} =  2^{2 x 3}

Perpangkatan bilangan berpangkat yang telah kamu pelajari tersebut memperjelas sifat berikut.

Sifat 3

Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka

(2^m)ⁿ =  2^{m x n} =  2^{n x m}

Contoh 4

1. a. (3⁴)² = 3^4×2

                = 3⁸

    b. ((-2)⁴)³ = (-2)^{4 x 3}

                    = (-2)¹²

2. Energi kinetik (E_k) sebuah benda bermassa m kg yang bergerak dengan kecepatan v m/det dirumuskan  E_k = ½ mv².

Sebuah benda bermassa 6 kg bergerak dengan kecepatan 27 m/det. Berapa joule energi kinetik benda tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui:

m = 6 kg

v = 27 m/det = 3³ m/det

Ditanyakan: E_k = ?

E_k = ½ mv²

     = ½  × 6 × (3³)²

     = 3 × 3^3×2

     = 3 × 3⁶

     = 3⁷

     = 2.187

Jadi, energi kinetiknya adalah 2.187 joule.

d. Sifat Perpangkatan dari Bentuk Perkalian

Pelajarilah operasi hitung berikut. (2 × 3)³ =

(2 × 3)³ =  (2 × 3)(2 × 3)(2 × 3)

             = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3

             =  2³ x 3³

Jadi  (2 × 3)³ =   2³ x 3³

Sifat 4

Jika n bilangan bulat positif dan a, b bilangan rasional maka (a × b)ⁿ =   aⁿ x bⁿ

Contoh 5

1. a. (2 × 5)² = 2² × 5²

                     = 4 × 25

                     = 100

    b. {(–3) × 2)³ = (–3)³ × 2³

                          = –27 × 8

                          = –216

    c. (–3pq)⁴ = (–3)⁴ × p⁴ × q⁴

                    = 81p⁴q⁴

2. Suatu alat listrik mempunyai hambatan 2 × 10² ohm dialiri arus 3 × 10² ampere selama 2 menit. Berapa joule besarnya energi listrik yang digunakan?

Penyelesaian:

Diketahui:

R = 2 × 10² ohm

I = 3 × 10² ampere

t = 2 menit = 120 detik

Ditanyakan W?

W = I ² R t

    = (3 × 10²)² × 2 × 10² × 120

    = 3² × (10²)² × 2 × 10² × 1,2 × 10²

    = 9 × 2,4 × 10⁴ × 10² × 10²

    = 21,6 × 10⁸

    = 2,16 × 10⁹

Jadi, energi listrik yang digunakan sebesar 2,16 × 10⁹ joule.

e. Sifat Perpangkatan dari Bentuk Pembagian

Untuk memahami sifat perpangkatan dari bentuk pembagian, pelajarilah operasi hitung berikut dengan saksama.

	2
2		=	2 x 2	=	22
3			3 x 3		32

Perpangkatan dari bentuk pembagian yang telah kamu pelajari itu memperjelas sifat berikut.

Sifat 5

Jika a, b bilangan rasional, b ≠ 0, dan n bilangan bulat positif maka

	n
a		=	an
b			bn

Contoh 6

1. (3/7)3 =	33	=	27
	73		343
2. (2/3)4 =	24	=	16
	34		81
3. (2pq/r)2 =	(2pq)2	=	4p2q2
	r2		r2

    

f. Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Berpangkat

Sebelum mempelajari sifat penjumlahan dan pengurangan bilangan berpangkat, dapatkah kamu menyederhanakan penjumlahan bilangan berpangkat berikut?

a. 3⁵ + 3⁷

b. (–3)³ + (–3)⁵

c. 2 × 5³ + 5⁵

Cocokkan hasilnya dengan jawaban berikut.

a. 3⁵ + 3⁷ = 3⁵ (1 + 3²) (sifat distributif ) = 3⁵ × 10 = 10 × 3⁵

b. (–3)³ + (–3)⁵ = (–3)³ (1 + (–3)²) (sifat distributif ) = (–3)³ × 10 = 10 × (–3)³

c. 2 × 5³ + 5⁵ = 5³ (2 + 5²) (sifat distributif ) = 5³ × 27 = 27 × 5³

Uraian tersebut sesuai dengan konsep penjumlahan bilangan berpangkat seperti berikut.

Sifat 6

Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka

paⁿ + qa^m = aⁿ(p + qa^m–n)

Konsep penjumlahan dua bilangan berpangkat tersebut berlaku juga untuk pengurangan dua bilangan berpangkat seperti berikut.

Sifat 7

Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka

paⁿ – qa^m = aⁿ(p – qa^{m – n})
pa^m – qaⁿ = an(pa^{m – n} – q)

Contoh 7

1. 2⁵ + 2⁷ = 2⁵ (1 + 2²) (sifat 6) = 2⁵ × 5 = 5 × 2⁵
2. 5⁵ – 5⁷ = 5⁵ (1 – 5²) (sifat 7) = 5⁵ × (–24) = –24 × 5⁵
3. 3 × 7⁶ – 2 × 7⁵ = 7⁵ (3 × 7 – 2) (sifat 6) = 7⁵ × 19 = 19 × 7⁵

4. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat Negatif dan Nol

a. Pengertian Pangkat Bilangan Bulat Negatif

Berdasarkan Sifat 2, telah dipelajari bahwa untuk a adalah bilangan rasional, a ≠ 0, danm, n adalah bilangan bulat positif dengan m > n, berlaku

am	= am-n
bn

Sifat tersebut dapat dikembangkan untuk m < n. Sebagai contoh, amatilah bentuk berikut.

a3	= a3-5	= a-2                 ...(1)
b5

Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktorfaktornya, pembagian tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

a3	=	a x a x a	=	1	=	1	…(2)
a5		a x a x a x a x a		a x a		a2

Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa

1	=	a-2
a2

Dengan demikian, kamu dapat mengubah bilangan rasional berpangkat bilangan bulat negatif ke dalam bentuk bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif dan sebaliknya.

Secara umum, untuk bilangan berpangkat n, dengan n adalah bilangan bulat positif dapat ditulis seperti berikut.

1	=	a-n dengan a ≠ 0
an

Sekarang, amati bentuk perpangkatan berikut yang dihitung dengan menggunakan kalkulator.

4-1 = 0,25 =	1
	4

2-3 = 0,125 =	1	=	1
	8		23

3-2 = 0,1111.. =	1	=	1
	9		32

Uraian tersebut memenuhi definisi bilangan rasional ber pangkat bilangan bulat negatifseperti definisi berikut.

Definisi 3

Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan n adalah bilangan bulat positif maka

a-n =	1
	an

Contoh 8

Ubahlah bentuk pangkat berikut menjadi bentuk pangkat positif.

a. 5^–2    b. 2^–3

Penyelesaian:

a.	5-2 =	1
		52

b.	2–3 =	1
		23

Sifat pangkat bilangan bulat positif dari Sifat 1 sampai dengan Sifat 5 berlaku juga untuk bilangan berpangkat bilangan bulat negatif, dengan a, b adalah bilangan rasional dan m,n adalah bilangan bulat negatif.

Coba kamu tuliskan kelima sifat tersebut di buku tugasmu.

Contoh 9

 

a. 5^-4 × 5⁶ = 5^{-4 + 6} = 5² = 5 × 5 = 25

b.	(-3)2	(-3)2-4 = (-3)-2 =	1	=	1
	(-3)4		(-3) 2		9

b. Pengertian Pangkat Nol

Kamu telah mempelajari Sifat 5.2 bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif dan negatif, yaitu

am	=	am-n
an

dengan a bilangan rasional, m dan n adalah bilangan bulat, m≠ 0, n≠ 0, serta m≠ n.

Sekarang, amati sifat tersebut untuk m= n.

Sebagai contoh,

a5	=	a5-5 = a0   ….(1)
a5

Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktor-faktornya, pembagian tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

a5	=	a x a x a x a x a	= 1       ….(2)
a5		a x a x a x a x a

Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa a⁰ = 1. Uraian tersebut memenuhi konsep bilangan berpangkat nol seperti definisi berikut.

Definisi 4

a⁰ = 1, dengan a bilangan rasional dan a ≠ 0

Sifat 1 sampai dengan Sifat 5 yang telah kamu pelajari pada bagian 3 berlaku juga untuk bilangan berpangkat nol, dengan m= n= 0, a adalah bilangan rasional, dan a≠ 0. Coba tuliskan kelima sifat tersebut.